写在前边

好奇

你肯定会好奇鸡兔同笼问题有什么好写的，不就是列方程组，小学生都会的一道题。

诚然，我之前也是这么觉得的。

然而，如果说不允许列方程组呢？

产生原因

可能屏幕前的各位数学家也会说，口亨，这么简单的题，还水一篇文章。

一位伟大的社会学家曾经说过

好奇和懒是第一生产力 – 沃兹基硕德

所以，我很好奇，如果不用方程去解这道题，该怎样去求解这样一道问题。

开始想解决办法

题目

鸡兔同笼类问题第一次出现是在《孙子算经》的下卷中的一道算题：

　　今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？

用现代汉语表示，就是：“现在笼子里有鸡（雉）和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡、多少只兔子？”

解决办法

经典列方程组法

解：设现在笼子中鸡有x只，兔子有y只。

{x+y=352x+4y=94\left\{\begin{array}{l}x + y = 35\\2x + 4y = 94\end{array} \right.

很容易就能解得

{x=23y=12\left\{ \begin{array}{l}x = 23\\y = 12\end{array} \right.

抬脚法

抬一只脚

在同一本书(《孙子算经》)中，记载了这种解法

上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七。以少减多。

即：将脚的总数94除以2，然后减去35只，就得到了兔子的数目，然后可以得到鸡的数目。

先将所有动物的脚数目除以2，得到的94÷2=4794 \div 2 = 47就是每只兔子剩下两只脚，每只鸡剩下一只脚的数量。

此时，因为每只兔子两只脚，每只鸡一只脚，假设所有动物都是鸡，那么应该只剩下35只脚，但实际剩下了47只脚。因此，兔子有47−35=1247 - 35 = 12只，而鸡有35−12=2335 - 12 = 23只。

抬两只脚

这个方法是我某天无意间在朋友圈看到的一种思路。

当时看到这个问题，我的想法只有列方程一种方法，看到这个方法后，我觉得自己重新喜欢上数学了。

因为鸡兔共35只，此时让每一只动物都抬起两只脚，即剩下94−35×2=2494 - 35 \times 2 = 24只脚。

这时，这24只脚都是兔子的，因此一共有24÷2=1224 \div 2 = 12只兔子。

因此一共有35−12=2335 - 12 = 23只鸡。

假设法

全部是鸡

解：首先假设35只动物全部都是鸡，那么应该共有35×2=7035 \times 2 = 70只脚。

但是一共有94只脚，因此多出94−70=2494 - 70 = 24只脚。

所以兔子一共有24÷2=1224 \div 2 = 12只，鸡一共有35−12=2335 - 12 = 23只。

全部是兔子

解：首先假设35只动物全部都是兔子，那么应该共有35×4=14035 \times 4 = 140只脚。

但是一共有94只脚，因此少了140−94=46140 - 94 = 46只脚。

所以鸡子一共有46÷2=2346 \div 2 = 23只，兔子一共有35−23=1235 - 23 = 12只。

列表法

根据题意，可以列出如下表格

鸡···181920212223242526272829···
兔···17161514131211109876···
腿···104102100989694929088868482···

扩展题目

题目

X市某小学组织全体师生为C县受灾地区捐款，规定教师每人捐款3元，学生两个人捐款1元。捐款师生共100人，捐款金额共计100元。问捐款学生和老师共多少人。

这道题是前几天看到我高中时班主任朋友圈求助的一到问题，孩子现在上小学，但是没有学习方程，因此不能使用方程，问该怎样教孩子解这道题。

看到这道题，我立刻就想到了之前在朋友圈上看到的那个鸡兔同笼的解法。于是我立刻打开我的GoodNote5，奋笔疾书地写下了答案，发给了班主任。

解法

这道题，我想到的是上文中抬脚法的抬两只脚方法。

抬两只脚的意义是排除较小值的影响，即将鸡的影响排除。这里应该是将学生的影响排除。

根据题意，学生每两个人捐款1元，在不考虑学生捐款数目不均的情况下(即假设每个学生捐款数目相等)，我们可以算出，每个学生捐款1÷2=0.51 \div 2 = 0.5元。

此时用教师每人的3元减去学生每人的0.5元，即可得到差值为3−0.5=2.53 - 0.5 = 2.5元。

此时因为去掉了每个人捐款的0.5元，因此剩下100−100×0.5=50100 - 100 \times 0.5 = 50元。

此时剩下的50元均为教师的捐款，并且每名教师2.5元。

得教师人数为50÷2.5=2050 \div 2.5 = 20人。

学生人数为100−20=80100 - 20 = 80人。

最后要说的话

本文内容并不是总结鸡兔同笼系列问题的所有解法，我只列出来了自己感兴趣的解法，在写这篇内容的时候，

我Google到了一篇总结比较全的文章，连接地址放在参考链接的Sting的简书文章中，有兴趣的朋友可以去看一看。

在写最后的那一道题的时候，我突然想起来我之前看到的一个知乎文章(具体内容详见参考内容中应不应该禁止小学、初中、高中的学校组织捐款？)，虽然和本文没有关系，但是我觉得挺有趣的一个问题，所以就放在这里了。

参考内容