写在前边

好奇

你肯定会好奇鸡兔同笼问题有什么好写的,不就是列方程组,小学生都会的一道题。

诚然,我之前也是这么觉得的。

然而,如果说不允许列方程组呢?

产生原因

可能屏幕前的各位数学家也会说,口亨,这么简单的题,还水一篇文章。

一位伟大的社会学家曾经说过

好奇和懒是第一生产力 – 沃兹基硕德

所以,我很好奇,如果不用方程去解这道题,该怎样去求解这样一道问题。

开始想解决办法

题目

鸡兔同笼类问题第一次出现是在《孙子算经》的下卷中的一道算题:

  今有雉、兔同笼,上有三十五头,下九十四足。问雉、兔各几何?

用现代汉语表示,就是:“现在笼子里有鸡(雉)和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头,从下面数一共有九十四只脚,问一共有多少只鸡、多少只兔子?”

解决办法

经典列方程组法

解:设现在笼子中鸡有x只,兔子有y只。

{x+y=352x+4y=94\left\{\begin{array}{l}x + y = 35\\2x + 4y = 94\end{array} \right.

很容易就能解得

{x=23y=12\left\{ \begin{array}{l}x = 23\\y = 12\end{array} \right.

抬脚法

抬一只脚

在同一本书(《孙子算经》)中,记载了这种解法

上置三十五头,下置九十四足。半其足,得四十七。以少减多。
即:将叫的总数94除以2,然后减去35只,就得到了兔子的数目,然后可以得到鸡的数目。

先将所有动物的脚数目除以2,得到的94÷2=4794 \div 2 = 47就是每只兔子剩下两只脚,每只鸡剩下一只脚的数量。

此时,因为每只兔子两只脚,每只鸡一只脚,假设所有动物都是鸡,那么应该只剩下35只脚,但实际剩下了47只脚。因此,兔子有4735=1247 - 35 = 12只,而鸡有3512=2335 - 12 = 23只。

抬两只脚

这个方法是我某天无意间在朋友圈看到的一种思路。

当时看到这个问题,我的想法只有列方程一种方法,看到这个方法后,我觉得自己重新喜欢上数学了。

因为鸡兔共35只,此时让每一只动物都抬起两只脚,即剩下9435×2=2494 - 35 \times 2 = 24只脚。

这时,这24只脚都是兔子的,因此一共有24÷2=1224 \div 2 = 12只兔子。

因此一共有3512=2335 - 12 = 23只鸡。

假设法

全部是鸡

解:首先假设35只动物全部都是鸡,那么应该共有35×2=7035 \times 2 = 70只脚。

但是一共有94只脚,因此多出9470=2494 - 70 = 24只脚。

所以兔子一共有24÷2=1224 \div 2 = 12只,鸡一共有3512=2335 - 12 = 23只。

全部是兔子

解:首先假设35只动物全部都是兔子,那么应该共有35×4=14035 \times 4 = 140只脚。

但是一共有94只脚,因此少了14094=46140 - 94 = 46只脚。

所以鸡子一共有46÷2=2346 \div 2 = 23只,兔子一共有3523=1235 - 23 = 12只。

列表法

根据题意,可以列出如下表格

···181920212223242526272829···
···17161514131211109876···
···104102100989694929088868482···

扩展题目

题目

X市某小学组织全体师生为C县受灾地区捐款,规定教师每人捐款3元,学生两个人捐款1元。捐款师生共100人,捐款金额共计100元。问捐款学生和老师共多少人。

这道题是前几天看到我高中时班主任朋友圈求助的一到问题,孩子现在上小学,但是没有学习方程,因此不能使用方程,问该怎样教孩子解这道题。

看到这道题,我立刻就想到了之前在朋友圈上看到的那个鸡兔同笼的解法。于是我立刻打开我的GoodNote5,奋笔疾书地写下了答案,发给了班主任。

解法

这道题,我想到的是上文中抬脚法的抬两只脚方法。

抬两只脚的意义是排除较小值的影响,即将鸡的影响排除。这里应该是将学生的影响排除。

根据题意,学生每两个人捐款1元,在不考虑学生捐款数目不均的情况下(即假设每个学生捐款数目相等),我们可以算出,每个学生捐款1÷2=0.51 \div 2 = 0.5元。

此时用教师每人的3元减去学生每人的0.5元,即可得到差值为30.5=2.53 - 0.5 = 2.5元。

此时因为去掉了每个人捐款的0.5元,因此剩下100100×0.5=50100 - 100 \times 0.5 = 50元。

此时剩下的50元均为教师的捐款,并且每名教师2.5元。

得教师人数为50÷2.5=2050 \div 2.5 = 20人。

学生人数为10020=80100 - 20 = 80人。

最后要说的话

本文内容并不是总结鸡兔同笼系列问题的所有解法,我只列出来了自己感兴趣的解法,在写这篇内容的时候,

我Google到了一篇总结比较全的文章,连接地址放在参考链接的Sting的简书文章中,有兴趣的朋友可以去看一看。

在写最后的那一道题的时候,我突然想起来我之前看到的一个知乎文章(具体内容详见参考内容中应不应该禁止小学、初中、高中的学校组织捐款?),虽然和本文没有关系,但是我觉得挺有趣的一个问题,所以就放在这里了。

参考内容